誕生日の偶然

　人が20人程も集まれば同じ誕生日の人がいるものだよ、と言われれば、そんなことはないだろうと思うはずだ。いや、あなたと同じ誕生日の人が見つかるというわけではない。日付はどうであろうと同じ誕生日のペアが見つかるということだが。
　それにしてもちょっと首をかしげる。常識的に考えてみよう。人が一人いて、そこにもう一人現れたときに誕生日が同じであることはほとんど考えられない。もう一人来てもそうだろう。どんどん来ても20人やそこらで「あ、私達同じ！」となることはそうそうあるだろうか。

　簡単化してみよう。サイコロを振るとどんな風に数が出て来るのかを考えてみる。
　1回目にある数が出る。
　2回目にそれと同じ数が出る確率は6分の1だ。
　3回目を考えてみよう。もう数字が2つ出ているのだから、次にそのどれかと同じ数が出る確率は6分の2だ。
　だがこの調子で進めていっていいのだろうか。つまり、もし1回目と2回目の数が同じだったら（それは6分の1の確率で起こっているはずだ）、3回目にそれと同じ数が出る確率は6分の1だ。
　4回目も同様に6分の3と決まるのではなく、場合によって6分の2かもしれないし、6分の1かもしれない。
　そしてこの調子で出てきた確率をどうすれば良いのか。按分しながら全部足せばよいのだろうか。ちょっと混乱する。

　この調子で365（一応単純化してこうする）の日付について計算しようとすると恐ろしく複雑なことになるような気がする。

　だが、発想を変えると簡単だ。
　サイコロで同じ数が出たら負けというルールで振り続けたときにどの辺りまで勝ち続けられるだろうと考えてみる。

　1回目にある数が出る。
　2回目にそれと異なる新しい数が出る確率は6分の5だ。
　その上で、3回目に新しい数が出る確率は6分の4だ。
　その上で、4回目に新しい数が出る確率は6分の3だ。
　その上で、5回目に新しい数が出る確率は6分の2だ。
　その上で、6回目に新しい数が出る確率は6分の1だ。

　ここでは「その上で」という条件が重要だ。この条件があるから各回までの勝っている確率は掛け算の積み重ねによって出てくる。
　3回目で勝っている確率は36分の20だ。すれすれ勝っている方に分がある。
　4回目で勝っている確率は216分の60だ。勝ち目はほとんどない。
　つまり3回目と4回目の間に、勝ち負けの境目があるということだ。サイコロを振って同じ目が出るのは3回ではたぶんないだろうが4回目までにはほぼ出るということになる。

　見事に常識の予想する結果に合致しているといえよう。（そんなに威張るほどの結果ではない）

　それでは誕生日の計算だ。

　人が1人いる。
　そこへ現れた2人目の誕生日が1人目と異なる確率は365分の364だ。
　その上で、3人目もいずれとも異なる確率は365分の363だ。
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　その上で、20人目もいずれとも異なる確率は365分の346だ。
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　その上で、365人目もいずれとも異なる確率は365分の1だ。

　ここで20人目までを掛け算してみよう。

　365分の364×365分の363×365分の362・・・・・365分の347×365分の346

　＝0.588561616419420012377988123495409・・

　となった。
　まだ同じ日付が出ていない方の確率がやや高い。
　もう少し続けてみよう。

　21人目では　0.556311664834794258275084664673074・・

　22人目では　0.524304692337449931086655136020231・・

　23人目では　0.492702765676014592774582771657354・・

　と、ついに2分の1の確率を下回った。

　つまり、23人の人が集まれば誰かと誰かの誕生日が同じになる蓋然性は半分以上あるというわけだ。必ずペアができるというわけではないが、ペアができるかできないか賭けるとしたらできる方に賭けるのが良いということだ。そしてあとほんのもうちょっと人数が増えるだけでほぼ確実にペアができることになるのだ。（34人で8割、40人で9割の確率、そして57人では99パーセントを超える。）

　これはサイコロの例と違って随分常識の予想するところと異なる結果のように見える。しかし冷静によーく考えてみよう。なんだかそういえばそのような気もしてこないだろうか。

参考

注　数字は電卓の出力です。有効桁を無視しています。

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